1.2021全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱

編者按：考試分析是幫助考生正確認知考試、樹立正確應考觀念、端正學習態(tài)度的有效文件,其主要內(nèi)容是通過對當年考題進行全面分析,作出科學評價,并對來年考試提出指導性40400在線報名系統(tǒng)意見,因此,2022版考試分析的分析內(nèi)容載體為2021年的考試命題。

2.2021年碩士研究生考試數(shù)學一

2021考研數(shù)學試題是教育考試中心調(diào)整數(shù)學試題命題結(jié)構(gòu)后的首套命題,也是教育部考試中心在多年嚴厲批評當前數(shù)學應試只流于膚淺套路形式的掌握,不求本質(zhì)理解的不良學習風氣之后寄希望通過命題結(jié)構(gòu)的大幅調(diào)整來扭轉(zhuǎn)這股不良風氣的首次命題嘗試.應該來說,在2021考研數(shù)學的三套試題中,數(shù)學(一)的命題基本達成了這一訴求目標,但數(shù)學(二)與數(shù)學(三)的命題稍欠火候.幾乎完美的2021數(shù)學(一)命題應該是未來數(shù)學各卷種命題的風向標,由于數(shù)學(一)的考試內(nèi)容不僅包含數(shù)學(二)和數(shù)學(三)95%以上的考試內(nèi)容,而且40400在線報名系統(tǒng)在相同考點的命題上,數(shù)學(一)的難度均高于數(shù)學(二)和數(shù)學(三),因此,針對最高品質(zhì)的數(shù)學(一)試題做出考試分析,不僅對數(shù)學(一)科目的考生有意義,對數(shù)學(二)和數(shù)學(三)的考生應試則具有更大的參考價值.

3.2022研究生數(shù)學考試大綱

一、數(shù)學試題

4.全國碩士研究生數(shù)學考試歷年真題

二、總體評價總體來說,2021考研數(shù)學的命題具有兩大突出的特點:1.試題命題的創(chuàng)新程度創(chuàng)歷史新記錄,更注重知識內(nèi)涵理解的考查在2021考研的整個數(shù)學(一)試卷的22道試題中,常規(guī)試題只有8道半題(題號分別為1,3,11,12,13,14,15,16,21-1),分值總計為44分,占比不到30%,而2021之前的歷年試題40400在線報名系統(tǒng)中,這類試題一般占比約60%,即在總卷面分值約90分,即使是在全國平均分低到教育部考試中心都羞于拿出公開成績數(shù)據(jù)的2020年考研數(shù)學試題中,這類試題的占比也超過了50%(分值總計76分,占比50.6%,題號分別為1,2,3,5,7,8,9,10,12,13,15,16,19-1,23).在2021考研數(shù)學(一)其他70%以上的創(chuàng)新試題中,雖然試題命制比較新穎,但只要認真學習過考研數(shù)學復習全書中唯一注重考點本質(zhì)深入解析的《新考研數(shù)學超級金講》①復習全書(以下簡稱《新金講》),都很容易抓住考點本質(zhì),稍加分析,都不難找到解答思路,快速完成試題解答(試題對應《新金講》的詳細解析見第四節(jié)“四、試題詳析”40400在線報名系統(tǒng)).這正如我在2020年10月份的考前免費講座課程“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功”(

5.全國碩士研究生考試數(shù)學考試分析 2020版

課程獲取方式：騰訊課堂搜索“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功!”)中下的結(jié)論:2021的考研數(shù)學成績必將是一個兩級分化更嚴重的年份,那些以掌握各種題型套路、瘋狂刷題為主要復習路徑的考生必將落入更低的分數(shù)區(qū)間,而那些注重考點本質(zhì)理解的同學,很容易就能贏得高分.可以預測,在當前已被機構(gòu)利益引致而深陷歧途的主體學習氛圍沒有得到根本遏制之前,數(shù)學(一)的全國平均成績將會進一步下滑,預測2021的數(shù)學(一)的全國平均成績應該不會高于50分.那些通過各種以題型套路忽40400在線報名系統(tǒng)悠考生,考生依然甘之如飴的苦逼數(shù)學復習方法,終將會在考場被狠狠地打臉.

6.2021研究生數(shù)學考試時間

2.命題考查內(nèi)容覆蓋全面,重點突出,且不遺漏低頻考點2021數(shù)學(一)卷面22道試題,通過試題命制的創(chuàng)新,幾乎覆蓋了高等數(shù)學、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計三門主干課程全部核心考點的考查,并且更難能可貴的是,在卷面總題量減少的情況下,2021數(shù)學(一)考題沒有遺漏任何一個被輔導機構(gòu)標簽為所謂冷門考點的考查,如高等數(shù)學中極少考查的歐拉方程求解(13題)、線性代數(shù)中極少考查的正定矩陣的開方計算(21題第2問)以及數(shù)理統(tǒng)計中假設檢驗的第二類錯誤的概率計算(10題)等,這從側(cè)面也說明,大綱要求范圍內(nèi)的,每個40400在線報名系統(tǒng)考點都是需要掌握的,那些所謂的冷門考點,更是不可忽視的,因為所有所謂的冷門考點,其實都較其他所謂熱門的考點更容易掌握,這些考點大量丟分的根本原因不是因為其掌握的難度,而是很多人因為它考頻次數(shù)低而投機性的忽視了它,只要得到基本的重視,很容易知曉其概念內(nèi)涵、掌握其運算規(guī)則,輕松地獲得高分.

7.2021年全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱

三、課程考查內(nèi)容評價及命題分析1.高等數(shù)學(1)函數(shù)、極限與連續(xù)

8.全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱2022

函數(shù)、極限與連續(xù)考查的唯一本質(zhì)重點是極限的運算,極限的運算又分為數(shù)列的極限運算和函數(shù)的極限運算,最重要的數(shù)列極限計算方法必然是定積分定義法,因為這關系到高等40400在線報名系統(tǒng)數(shù)學最重要的積分概念的理解.試卷的第4題逆?zhèn)鹘y(tǒng)命題反向考查了定積分定義在數(shù)列和極限計算中的應用(傳統(tǒng)命題一般是給出數(shù)列和的極限求解其定積分形式)、第17題極限的計算問題區(qū)別于傳統(tǒng)極限計算命題一般只側(cè)重于部分關鍵考點的考查,首次幾乎綜合了極限計算中全部關鍵知識點本質(zhì)理解的應用(無窮小替換、泰勒公式、洛必達法則、極限的四則運算法則、變限積分極限的處理方式以及極限計算過程中的靈活化簡等),這兩道題幾乎綜合了第一章全部關鍵內(nèi)容的理解,如果只是機械地掌握極限計算的一些套路,而不是基于對每一個關鍵點的本質(zhì)理解,在計算轉(zhuǎn)換過程中,這兩道題都可能沒辦法順利得到正確答案,而且這兩道題所包含的問題解決能力完全能覆40400在線報名系統(tǒng)蓋到第一章其他沒有呈現(xiàn)在這兩道試題里考點問題的解決能力,這兩道試題的命制堪稱本章命題的典范.

9.全國碩士研究生招生考試數(shù)學考試大綱

(2)一元函數(shù)微積分學

10.2021年碩士研究生數(shù)學考試大綱

由于多元函數(shù)微積分學包含了一元函數(shù)微積分學的絕大部分內(nèi)容,因此,一元函數(shù)微積分學在絕大多數(shù)情況下都不構(gòu)成數(shù)學(一)命題的重點,這一部分命題的重點一般是針對一元與多元有差異的重點部分進行命題.試卷的第1題考查了一元分段函數(shù)臨界點的取值狀況判斷,第11題考查了簡單有理函數(shù)的廣義積分計算、第12題考查了參數(shù)變量函數(shù)的二階導數(shù)值的計算,這三道試題所對應的考點正是這一結(jié)論的反映.由于一元微積分學不是數(shù)學(一)的命題重40400在線報名系統(tǒng)點,因此這一部分的命題一般都比較常規(guī).

(3)多元函數(shù)微積分學

多元函數(shù)微積分學是數(shù)學(一)命題的重點,包含兩個方面的內(nèi)容:微分概念的理解、計算及應用,積分概念的理解與計算.試卷的第2題通過創(chuàng)新二元復合函數(shù)的構(gòu)造來考查考生對多元函數(shù)微分概念的深度理解和計算,本道試題有效解答的能力可以覆蓋到其他任意多元函數(shù)微分的計算能力,是一道考點到能力覆蓋面非常廣的優(yōu)秀命題;第14題雖然是一道常規(guī)的對坐標曲面積分的計算問題,但也綜合考查到了多元函數(shù)積分計算的絕大部分關鍵內(nèi)容(空間解析幾何、高斯公式的應用、三重積分的對稱性定理應用和截面計算法);第19題堪稱本套試卷命題最大的亮點,表面上是考查多元函數(shù)的最值問題,其40400在線報名系統(tǒng)實質(zhì)考查的是空間曲線函數(shù)表達式的深度理解(見《新考研數(shù)學超級金講—高等數(shù)學》272頁對空間曲線的解析),雖然兩種思路都能得出正確答案,但前者的計算量至少是后者的3倍以上,這道題對不同學習能力的考生具有超高的區(qū)分度,這道題除了本人第一時間給出后一種解析思路之外,市面上其他所有考研輔導機構(gòu)對這道題的解析都采用了最膚淺的多元函數(shù)最值的解析方式,這也反映當前考研輔導機構(gòu)對教研內(nèi)容研究深度的欠缺(具體解析見“四、試題詳析”);第20題第1問通過一個抽象積分區(qū)間的引入創(chuàng)新性考查了考生對二重積分幾何意義的深度理解和對考點信息綜合分析判斷能力,第2問通過被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)復雜化來考查考生透過復雜表象把握本質(zhì)的審題40400在線報名系統(tǒng)能力,但如果解決了第1問的抽象積分區(qū)間問題,并且扎實地掌握了格林公式的應用,第2問本質(zhì)是一道常規(guī)挖洞法的對坐標曲線積分計算問題(2020、2021連續(xù)兩年考查了這一知識點,這一事實也證明了一些機構(gòu)老師聲稱“上年考過的不會再考”的觀點是極度不負責任的).多元函數(shù)微積分學全卷考查的4道試題,完全覆蓋了多元函數(shù)微積分學的概念深度理解、基本計算方法的掌握以及綜合分析能力,考點覆蓋全面,重點突出,注重能力考查.

(4)無窮級數(shù)

在《新金講》中有總結(jié),無窮級數(shù)本質(zhì)只有兩個方面的內(nèi)容:級數(shù)的斂散性定性判斷和求和的定量計算.本部分卷面考查了2道試題,選擇題的第3題一改本章選擇題以級數(shù)斂散性或冪級數(shù)收斂區(qū)間判斷為主40400在線報名系統(tǒng)的傳統(tǒng)考查方式,考查了函數(shù)的麥克勞林展開式的簡單應用,多少會讓一些日常慣于刷題而疏于知識掌握的同學有些措手不及;第18題的解答題考查的雖然是常規(guī)級數(shù)的求和問題,但在具體求和級數(shù)的構(gòu)建上有了顯著的創(chuàng)新,具體級數(shù)是由兩個不同性質(zhì)的級數(shù)和構(gòu)成(由一個等比函數(shù)級數(shù)與一個冪級數(shù)之和構(gòu)成),這區(qū)別于傳統(tǒng)命題一般只限于單一冪級數(shù)求和的考查,這一創(chuàng)新命題對于日常慣于刷題而疏于知識掌握的同學可能會因為題目形式的新穎而無從下手,但對于求和本質(zhì)有基本理解的同學而言,是一道非常簡單的解答題.本章通過回避部分熱門常規(guī)考點來側(cè)面實現(xiàn)對考生知識點掌握全面性的考查,是一種非常好的命題策略.

(5)微分方程

微分方程的內(nèi)容性質(zhì)決定40400在線報名系統(tǒng)了這一部分內(nèi)容無法作為重點考查內(nèi)容,傳統(tǒng)對本章的考查一般淺嘗輒止地停留在直接套公式的微分方程求解或方程解的結(jié)論判斷中,很少考查較高級的應用考點,2021的數(shù)學(一)一改傳統(tǒng)命題風格,考查了微分方程中考頻最低且解法要求較高的二階歐拉方程的求解,二階歐拉方程的有效求解的知識掌握程度覆蓋了二階以下其他微分方程的求解需要,這一試題的考查顯然體現(xiàn)了命題中心在強化考點覆蓋面的用心.本題對于知識點掌握全面的同學來說,直接套用歐拉方程的計算步驟,很容易得出答案,但對于日常慣于刷題而疏于知識掌握的同學來說,由于這一考點命題過于低頻,一般很難出現(xiàn)在日常的訓練題中,因此,這道低頻簡單的二階歐拉方程可能也會讓部分人不40400在線報名系統(tǒng)知所措.

2.線性代數(shù)(1)行列式由于行列式的內(nèi)容包含于線性代數(shù)其他各章節(jié)中,2021年沒有單獨直接命題進行考查,而間接融合于其他章節(jié)的試題中進行了考查(如21題第1問求正交矩陣,其中就包含了行列式計算的考查).

矩陣這一章內(nèi)容的核心包含兩個方面內(nèi)容:一是對矩陣秩性質(zhì)的理解和運用;二是矩陣伴隨矩陣相關計算的熟練掌握.試卷的第7題通過分塊矩陣的構(gòu)建深度地考查了矩陣秩的性質(zhì)應用,這一道試題的有效判斷所需要具備的分析能力幾乎可以涵蓋所有關于矩陣秩的應用分析,是一道難度較大的試題.試卷的第15題考查了伴隨矩陣和矩陣的換算關系,雖然屬于一道常規(guī)試題,但包含了矩陣與伴隨矩陣換算的核心考點.兩道題全面的考查到本40400在線報名系統(tǒng)章的核心內(nèi)容.

(3)向量組、線性方程組

向量組的核心內(nèi)容本質(zhì)上與線性方程組的問題等價,而線性方程組的問題又可以融合到矩陣的特征值、特征向量的內(nèi)容中,所以2021考題沒有直接命制這方面的試題,向量只命制了一道邊緣性考點的試題(第6題),考查向量的正交方法,試題創(chuàng)新性逆向命題(給出正交結(jié)論,反向求參數(shù)值),依然具有較大的新意,這道題對于側(cè)重知識掌握的同學來說,幾乎是送分題,但對于日常慣于刷題而疏于知識掌握的同學,很可能由于結(jié)構(gòu)的少見而無從下手.

(4)矩陣的特征值和特征向量、二次型

矩陣的特征值和特征向量、二次型相當于線性代數(shù)內(nèi)容的集大成者,綜合了行列式、矩陣以及線性方程組的核心考點,是歷年考試的重點.40400在線報名系統(tǒng)卷面第5題通過二次型結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新精密設計,構(gòu)造出一個不同常規(guī)的二次型,全面深入地考查到了二次型化為標準型的方法及重要的正負慣性指數(shù)概念,本題對于日常慣于刷題而疏于知識掌握的同學來說,很容易由其結(jié)構(gòu)的表面形式而不假思索地直接選擇錯誤的答案,是一道區(qū)分度極高的二次型優(yōu)質(zhì)試題.卷面第21題考查了實對稱矩陣的正交相似對角化以及對角化的開方應用,本題有兩點創(chuàng)新:首先,它不同于需要求出矩陣中未知參數(shù)的傳統(tǒng)命題形式,在實對稱矩陣中引入了一個無需求解的未知參數(shù),引入的未知參數(shù)更多是充當一種對考生解答思路的信息干擾功能,用以增加試題的區(qū)分度,只有那些對考點理解扎實的同學才會迅速看穿其本質(zhì),不會在這一未知量上糾結(jié),40400在線報名系統(tǒng)這與2020年數(shù)學(一)的第18題在被積函數(shù)中引入一個并不妨礙積分計算的抽象復合函數(shù)的本質(zhì)是一致的;其次,相似對角化應用傳統(tǒng)命題更常見的考查方式是求其乘方,2021試題則進行了反向命題,求解矩陣的開方,只有對考點本質(zhì)真正掌握的同學才能進行這種靈活的變通.兩道題全面考查到了特征值和特征向量、二次型的全部核心內(nèi)容.

3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(1)隨機事件和概率

隨機事件和概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念,由于概率計算貫穿于全部概率論中,所以本章真正的獨立考點其實只有一個:隨機事件的概率換算關系(2020、2021連續(xù)考查了這一考點).試卷的第8題正是對這一獨立考點全面綜合的考查,四個選項的命題判斷需要的分40400在線報名系統(tǒng)析能力完全能全面考查出考生對這一考點掌握的程度以及所具備的綜合分析能力,把對這一考點的命題水平推上了一個新高度.

(2)隨機變量及其分布(一維隨機變量及其分布和二維隨機變量及其分布)

隨機變量及其分布是概率論與數(shù)理統(tǒng)計理論的核心理論,是用數(shù)學分析隨機事件的理論基礎,應該也是2021數(shù)學考試大綱調(diào)整之后本門課程唯一命制解答題的考點,試卷的第22題即是對這一內(nèi)容的考查.試卷第22題創(chuàng)新性地構(gòu)造了一個動態(tài)二維隨機事件模型,不僅將一元隨機分布與二元隨機分布有機的結(jié)合在一起進行全面考查,更極好地考查了考生運用所學知識分析問題、解決問題的能力,區(qū)別于傳統(tǒng)對隨機變量靜態(tài)的考查,是一道不可多得的高水平命題.

(3)40400在線報名系統(tǒng)隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征雖然是概率論與數(shù)理統(tǒng)計的重要內(nèi)容,但由于其核心在于各種隨機變量的數(shù)字特征的計算,內(nèi)容的掌握易于套路化,所以一般都只依附于其他章節(jié)的命題中進行考查.試卷的第9題、第16題間接地考查了這一內(nèi)容,第22題的第3問直接地考查了這一內(nèi)容.

(4)大數(shù)定律和中心極限定理大數(shù)定律和中心極限定理屬于概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最簡單、內(nèi)容最少的內(nèi)容,偶爾會象征性地考查一次,2021試題中沒有對其進行命題.(5)數(shù)理統(tǒng)計

數(shù)理統(tǒng)計包含三個方面的內(nèi)容:樣本統(tǒng)計量、參數(shù)估計以及假設檢驗.試卷的第9題不僅考查了樣本統(tǒng)計量的理解、參數(shù)估計的無偏性判斷,更全面考查到了方差、協(xié)方差的運算關系.第10題40400在線報名系統(tǒng)考查了考頻極低的假設檢驗第二類錯誤概率的計算,這可能是研究生招生考試自統(tǒng)考以來首次對這一考點的命題,再次凸顯了命題中心在強化考點覆蓋面的用心.

四、試題詳析1.選擇題(本題共10小題,每小題5分,共50分).

【答案】應選D.【分析】本題是一道常規(guī)分段函數(shù)臨界點可導性的判斷問題,分段函數(shù)臨界點的可導性判斷是一元微分學的重點,但并不是難點,其判斷只有唯一方法,就是利用臨界點的導數(shù)定義進行判斷.《新金講》(《新金講》一共三個分冊,對應于數(shù)學的三個科目,以下統(tǒng)一簡稱《新金講》,題目對應的頁碼為對應分冊的頁碼)在第二章中的重難點專題中有重點解析,本題與書中例2.27本質(zhì)是一致的.

非直線,因而沒有折點,必然40400在線報名系統(tǒng)是一條光滑曲線,如果在x =0處取極值,則必有f(0)=0,如果這一結(jié)果成立,則本題有至少有兩個答案,這顯然這不合題意,由排除法可迅速得出答案為D(這一分析思路看起來像是所謂的技巧,實質(zhì)是采用了數(shù)學的定性思維法,定性思維是在對考點有本質(zhì)理解基礎上升華的一種判斷思維,在很大程度上是比數(shù)學學習中常用到的定量計算更重要的一種思維方式,但遺憾的是,在國內(nèi)版的所有數(shù)學教材中,只有《新金講》在努力嘗試對這種思維進行解析和培養(yǎng).實際上,最有效的應試技巧其實就是對事物本質(zhì)的把握

),本題也可以通過定量計算來證明D的結(jié)論.

所以函數(shù)f(x) 在x =0可導且導數(shù)不為0,故選D.

【答案】應選C.【分析】本題是一道非常40400在線報名系統(tǒng)有效考查考生對全微分概念理解以及多個中間變量的單一自變量的復合函數(shù)求導法則掌握情況的試題,在《新金講》第七章的“重難點專題金講”中有明確的總結(jié),其思路本質(zhì)上等同于《新金講》中例7.60.

【答案】應選A.【分析】本題考查的是常規(guī)函數(shù)的泰勒級數(shù)展開(由于是在x =0處的展開,因此也等價于函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開),直接套用《新金講》總結(jié)的公式即可,由于展開式的最高次為3次,為了避免遺漏展開項,所涉及到的函數(shù)宜展開到至少3次.

【詳解】由麥克勞林公式可得

【答案】應選B.【分析】本題逆向考查了數(shù)列和極限的定積分計算方法,如果對這一重要考點有踏實的理解,無論是從數(shù)列和到定積分的正向計算,還是定積分到數(shù)列和的40400在線報名系統(tǒng)逆向變通其實都不難解決,《新金講》在極限的特殊計算法方法中對此考點有細致的解析,相信如果認真學習過這部分的同學,本題應該可以得以輕松解答.

【詳解】由于函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1] 上連續(xù),對于選項(A),有

【答案】應選B.【分析】本題考查二次型標準型的理解.雖然給出的二次型是完全平方結(jié)構(gòu),但顯然不能直接得出該二次型已經(jīng)是標準型的結(jié)論,否則這道題命制就毫無意義.對于這類完全平方結(jié)構(gòu)的二次型,要得到其準確的標準型,必須先將平方展開,然后通過配方法或正交變換法化為標準型,即可直接得到其正負慣性指數(shù)值.本類試題與《新金講》的例6.18本質(zhì)是同一試題,《新金講》還對這類題的易錯解法做了詳細解析,如果認真40400在線報名系統(tǒng)學習過,本題必可輕松解答.由于配方法計算量小很多,所以這里采用配方法化為標準型(

本題的配方法需要深入理解配方法的本質(zhì),否則會配出一個四不像的平方結(jié)構(gòu),無法得到準確的標準型,也許正因為如此,各機構(gòu)老師對本題的解析清一色地采用了最復雜的正交變換法,相信是缺乏對配方法本質(zhì)的掌握).

【答案】應選A.【分析】本題逆向考查向量組施密特正交變換法的掌握情況.如果能熟練記住了施密特正交變換法的公式規(guī)律,很容易判斷出所需要計算的參數(shù)l1 ,l2 對應于施密特正交變換中的向量系數(shù),《新金講》對施密特正交公式的運算規(guī)律有獨有的總結(jié),直接套其公式即可計算.

【詳解】由施密特正交法可知

【答案】應選C.【分析】本題深度考查40400在線報名系統(tǒng)了分塊矩陣秩的判斷,這類題一直是線性代數(shù)科目的難點,正鑒如此,《新金講》給予了極大篇幅講解了矩陣秩的性質(zhì)和應用,尤其是滿秩矩陣的應用,本題與《新金講》例2.41的判斷思路一致.

【詳解】易知選項(A)是成立的;

【答案】應選D.【分析】本題考查隨機事件關系的變換,比傳統(tǒng)考查的情況要復雜不少,但只要把握《新金講》中一再強調(diào)的由繁向簡、補集化本集的轉(zhuǎn)化思路,本題也僅僅是計算量大一點而已,本題與《新金講》中例1.12思路大體是一致的.

【詳解】對于選項(A),

【答案】應選C.【分析】本題一改傳統(tǒng)命題中總體是一維隨機變量的情況,采用二維隨機總體命題,考查考生對總體概念的深入理解,無論是一維還是二維總體,理解40400在線報名系統(tǒng)了《新金講》中對總體與樣本概念的詳細解析,本題剩下的就是簡單隨機變量數(shù)字特征換算關系的計算.

【答案】應選B.【分析】本題考查了罕見命題的假設檢驗中第二類錯誤概念的理解,對概念深刻全面的剖析是《新金講》獨有優(yōu)勢,第二類錯誤是指當原假設命題實際并不是真命題時,但樣本觀察值使得我們接受它為正確的概率.由于總體的實際值在檢驗前是不知道的(否則就不用去檢驗了),因此,第二類錯誤的概率實質(zhì)是計算通過樣本接納原命題的概率,至于接納它之后是否犯第二類錯誤,這個只有后來知道假設的真實結(jié)論才能判斷,正如本題中,給出了μ =11.5,所以接納原命題H0 就犯了第二類錯誤.理解了這一點,本題就容易計算了.

【分析】本題40400在線報名系統(tǒng)考查了簡單有理函數(shù)廣義積分的計算,這是積分計算的一個重點內(nèi)容,在《新金講》中單列了專題講解.容易看出,被積函數(shù)的分母容易配成平方結(jié)構(gòu),符合書中第一種情況,配方之后直接套用積分公式即可得到答案.

【分析】本題考查參數(shù)函數(shù)的求導計算,參數(shù)函數(shù)求導計算的關鍵是掌握參數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)求導本質(zhì),這在《新金講》中有特別的解釋,如果知曉這一本質(zhì),這類問題都會很簡單.

【分析】本題考查了考頻極低的歐拉方程,如果掌握了《新金講》中對歐拉方程求解過程的詳細解析,直接套用其對應的求解步驟,不難得出答案.

【答案】應填4π.【分析】題設對坐標曲面積分的積分區(qū)間為一個封閉的柱體,顯然要用高斯公式計算,又積分區(qū)間關于坐標面有顯40400在線報名系統(tǒng)著的對稱性,應用高斯公式之后的三重積分必然要用奇偶對稱性簡化計算,這是《新金講》中反復強調(diào)的重點思路,本題與書中例8.56計算本質(zhì)一致.

【分析】本題考查伴隨矩陣與矩陣之間的運算關系,是矩陣的重要考點之一,《新金講》對此考點有全面細致的解析,本題與書中例2.3幾乎是同一道題.

(16)甲乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球,先從甲盒中任取一球,觀察顏色后放入乙盒中,再從乙盒中任取一球,令X,Y 分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù),則X 與Y 的相關系數(shù)為.【答案】應填0.2.

【分析】本題雖然是考查相關系數(shù)的計算,但只有求得其分布了才能計算相關系數(shù),所以本題實質(zhì)考查二維離散隨機變量的分布,求離散隨40400在線報名系統(tǒng)機變量的分布關鍵是寫出隨機變量所有可能取值,然后再根據(jù)數(shù)值所表達的事件內(nèi)容來求得其分布,這是《新金講》中強調(diào)的重要求解思想.

【詳解】由題意易知,X 與Y 可能取值均為0和1,其聯(lián)合概率分布與邊緣概率分布如下表所示:

3.解答題(17~22小題,共70分)

【分析】本題考查了極限計算的無窮小替換、洛必達法則、極限的四則運算法則以及極限的靈活化簡能力,是一道綜合性較強的計算題,其中計算的關鍵是極限的四則運算法則的應用,在《新金講》中有強調(diào),當極限存在時,極限的運算可以拆解成不同極限存在項的極限進行計算.

【分析】本題堪稱本套試卷命題中最大的亮點,本題表面上是考查多元函數(shù)的最值問題,其實質(zhì)考查的是空間曲線40400在線報名系統(tǒng)的函數(shù)表達式的深度理解,這在《新金講》272頁對空間曲線的解析中有說明,雖然兩種思路都能得出正確答案,但前者的計算量至少是后者的3倍,這道題對不同學習能力的考生具有超高的區(qū)分度,這道題除了本人第一時間給出其最本質(zhì)的解析方法外,市面上其他所有考研機構(gòu)老師對這道題的解析都采用了最膚淺的多元函數(shù)最值的解析方式,這也反映當前考研輔導機構(gòu)對內(nèi)容研究深度的欠缺.當前考研輔導機構(gòu)流量老師幾乎都背離了教育所應該有的嚴肅本質(zhì),一個個化身為單口相聲演員與雞湯大師,浮于形、淺于質(zhì),正在把中國教育推向遠離探尋科學真理的教育本質(zhì).

【分析】本題第1問通過一個抽象積分區(qū)間的引入創(chuàng)新性考查了二重積分幾何意義的深度理解和考點信40400在線報名系統(tǒng)息綜合分析判斷能力.第2問則通過被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)復雜化來增加審題壓力,但如果解決了第1問的抽象積分區(qū)間問題,第2問本質(zhì)是一道常規(guī)挖洞法的對坐標曲線積分計算問題.由于二重積分的幾何意義是以積分區(qū)間為底面積,被積函數(shù)為高的曲頂柱體的體積,要使積分值最大,則積分區(qū)間面積要足夠大,同時,在積分區(qū)間范圍內(nèi),曲頂柱體的高不能為負值,否則,高取負值的曲頂體積就減少了總的體積值,要保證滿足這一規(guī)則,實質(zhì)積分區(qū)間范圍最大的取值就由被積函數(shù)大于0的區(qū)間決定.《新金講》第308頁的例8.3很好的詮釋了這一含義.明確了積分區(qū)間,第1問的積分值就容易算出;第二問的對坐標曲線積分中,分母是由平方和結(jié)構(gòu),這是使用挖洞格林公式40400在線報名系統(tǒng)計算的顯著特征,用挖洞格林公式計算,這在《新金講》中有明確的總結(jié).

【分析】第1問考查實對稱矩陣的正交相似對角化,先求得矩陣的特征值,然后求得特征向量,最后對特征向量進行單位正交標準化,就得到第1問的解,第1問屬于常規(guī)試題,思路在任何一本考研數(shù)學參考書都可以找到;第2問實際是求對矩陣 (a+3) E-A 的開方計算,計算矩陣的高次冪或矩陣的開方,在《新金講》的170頁關于矩陣化為相似對角形的應用方法總結(jié)的第4條中有詳細說明,并且書中例6.29的第2問與本題本質(zhì)一致,均考查了正定矩陣的開方計算.

【分析】本題較深入地考查到了一維隨機變量均勻分布的理解和動態(tài)事件概率的計算,創(chuàng)新性地構(gòu)造了一個動態(tài)二維隨40400在線報名系統(tǒng)機事件模型,不僅將一元隨機分布與二元隨機分布有機的結(jié)合在一起進行全面考查,更極好地考查了考生運用所學知識分析問題解決問題的能力,區(qū)別于傳統(tǒng)對隨機變量靜態(tài)的考查,是一道不可多得的高水平命題.本題的難點和關鍵在求得第一問的均勻分布,后面兩問都是建立在第一問答案基礎上的常規(guī)計算.關于均勻分布,《新金講》做出了突出重點的全面解析,相信認真學習過,必然能求得第一問的關鍵解答.

五、結(jié)論與建議(1)2021年的數(shù)學(一)命題把考研數(shù)學命題的整體水平推上了一個新高度,應該也是未來數(shù)學命題的風向標,命題既兼顧了全面考查,又做到了重點突出,既大幅創(chuàng)新了試題設計,擺脫了市面流行復習資料的套路誤導,又沒有偏題、怪題和40400在線報名系統(tǒng)技巧性很強的題目,在注重數(shù)學知識本質(zhì)掌握考查的同時,也注重綜合能力的考查,是歷年數(shù)學真題中難得的一套高水平命題.

(2)考研數(shù)學復習,首先要摒棄通過大量刷題來掌握題型套路的應考慣性思維和投機思維(當前靠大量刷題來掌握題型套路的應考慣性思維和投機思維的形成實際上是資本對學習持久扭曲的結(jié)果,這一內(nèi)容剖析參見課程“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功”中的分析,(

課程獲取方式：騰訊課堂搜索“如何胸有成竹、輕松愉悅地贏取考研成功!”),做到對考綱要求內(nèi)容的全面復習,不遺漏所謂的低頻冷門考點.在復習過程中,要注重對概念、性質(zhì)、原理和方法的本質(zhì)理解,以題促學,而不是本末倒置的題主學輔.從整套試題的分析也很容40400在線報名系統(tǒng)易看出,90%以上的數(shù)學命題只需要理解考點本質(zhì),都能很輕松找到對應的解題思路,并不需要大量的刷題,也不存在特別的套路和復雜的計算,正如前文的觀點:學習最好的應試技巧是對內(nèi)容本質(zhì)的把握,這也是教育承載的重要功能之一.《新考研數(shù)學超級金講》是所有考研數(shù)學復習全書中唯一注重概念、性質(zhì)、原理和方法本質(zhì)全面深入解析的復習全書,推薦作為考研數(shù)學復習的主體用書.